设函数f(x)在(a,b)内可导，证明：导函数f'(x)在(a,b)内严格单调增加的充分必要条件是：
对(a,b)内任意的x1,x2,x3，当x1<x2<x3时，(f(x2 )-f(x1))/(x2-x1 )<(f(x3 )-f(x2))/(x3-x2 ).
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已知平面有界区域D={(x,y)|x²+y²≤4x,x²+y²≤4y}，计算∬D(x-y)²dxdy.
设函数f(x,y)可微，且满足df(x,y)=-2xe-y dx+e-y (x²-y-1)dy,f(0,0)=2，求f(x,y)，并求f(x,y)的极值.
设函数f(x)在x=0处连续，且(xf(x)-e2sinx+1)/(ln(1+x)+ln(1-x))=-3证明：f(x)在x=0处可导，并求f'(0).
设矩阵A=(α1,α2,α3,α4 )，若α1,α2,α3线性无关，且α1+α2=α3+α4，则方程组Ax=α1+4α4的通解为x=________.
微分方程(2y-3x)dx+(2x-5y)dy=0满足条件y(1)=1的解为________.
已知函数y=y(x)由确定，则 dy/dx|t=0=______.
1/n² [ln(1/n)+2 ln(2/n)+⋯+(n-1) ln(n-1)/n]=________
设函数f:[0,1]→R是连续的且在(0,1)上可微，若f满足：(1) f(0)=0；(2)存在常数M>0使得|f'(x)|≤M|f(x)|对任意x∈(0,1)成立.证明：在[0,1]上f(x)=0.
曲线y²=x在点(0,0)处的曲率圆方程为____________________.
函数f(x,y)=2x³-9x²-6y4+12x+24y的极值点是__________.
某产品的价格函数为p=，（p为单价，单位：万元；Q为产量，单位：件），总成本函数为C=150+5Q+0.25Q²（万元），则经营该产品可获得的最大利润为______(万元).
已知方程a1/(x-λ1 )+a2/(x-λ2 )+a3/(x-λ3 )=0其中a1,a2,a3>0,λ1<λ2<λ3.证明：此方程在区间(λ1,λ2)和(λ2,λ3)中各有一根.
设f(x)=(x-x0 )n φ(x)，其中n为正整数，φ(x)在x0连续且φ(x0 )≠0，讨论f(x)在x0处能否取极值？