大学数学-考研试题(理工数学Ⅱ 2025年导数概念)

问答题（2025年理工数学Ⅱ）

设函数f(x)在x=0处连续，且

(xf(x)-e^2sinx+1)/(ln⁡(1+x)+ln⁡(1-x))=-3

证明：f(x)在x=0处可导，并求f'(0).

答案解析

解答过程见word版

讨论

大学数学

计算∫011/(x+1)(x²-2x+2) dx.

设矩阵A=(α1,α2,α3,α4 )，若α1,α2,α3线性无关，且α1+α2=α3+α4，则方程组Ax=α1+4α4的通解为x=________.

微分方程(2y-3x)dx+(2x-5y)dy=0满足条件y(1)=1的解为________.

已知函数y=y(x)由确定，则 dy/dx|t=0=______.

1/n² [ln⁡(1/n)+2 ln(2/n)+⋯+(n-1) ln(n-1)/n]=________

曲线y=∛(x³-3x²+1)的渐近线方程为________.

设∫1+∞a/(x(2x+a)) dx=ln2，则a=________.

设3阶矩阵A,B满足r(AB)=r(BA)+1，则【】

下列矩阵中，可以经过若干初等变换得到矩阵的是【】

设矩阵有一个正特征值和两个负特征值，则【】

导数概念

设函数f(x)在区间(-1,1)内有定义，且f(x)=0，则【】

设函数f(x)在区间(-1,1)上有定义，且f(x)=0，则【】

证明：(f(x0+h)-f(x0-k))/(k+h)存在的充要条件为f在x0处可导.

设函数f(x)连续，给出下列四个条件：①(|f(x)|-f(0))/x存在； ②(f(x)-|f(0)|)/x存在；③|f(x)|/x存在； ④(|f(x)|-|f(0)|)/x存在；其中能得到“f(x)在x=0处可导”的条件个数是【】

设f(x)=其中g(x)是有界函数，则f(x)在x=0处【】

已知函数f(x)在x=1处可导且(f()-3f(1+sin2⁡x))/x2 =2，求f'(1).

设函数f:R→R可微且导数有界，则f【】

设函数f(x)在(-∞,+∞)内有定义，对任意x都有f(x+1)=2f(x)，且当0≤x≤1时f(x)=x(1-x2)，试判断在x=0处函数f(x)是否可导.

函数，在 x=0处【】

若f(x),g(x)在[a,b]上可导，∀x∈[a,b],f' (x)≤g'(x)，则∀x∈[a,b],f(x)≤g(x).

导数与微分

设，则d²y/dx²|t=1=________.

设函数y=f(x)由参数方程确定，则⁡x[f(2+2/x)-f(2)]=【】

已知函数f(x)=x²(ex+1)，则f(5)(1)=___________.

若f(x)=x+lnx,g(x)是f(x)的反函数，则g'' (x)=________.

设函数f在R上可微，且满足对任意x∈R，有f(x+1)-f(x)=f'(x)以及f' (x)=1，证明：存在常数C，使得f(x)=x+C.

给定方程x²+y + sin(xy)=0.(1) 说明在点(00)的充分小的邻域内，此方程确定唯一的可导的函数 y=y(x)，使得 y(0)= 0，并求出 y=y(x)的导函数表达式.(2) 判断在点(0,0)的充分小的邻域内，此方程是否确定唯一的函数 x =x(y)，使得x(0)=0，说明理由.

设p(x)=x-x²，记[x]为取整函数，即不超过x的最大整数，又设f(x)是二阶连续可微函数，对任意非负整数k，证明：f(x)dx=(f(k+1)+f(k))/2-1/2 f''(x)p(x-[x]) dx

设y=arcsinx/，求y(2023) (0).

设f(x)在(0,+∞)上三次可导，且f(x)与f'''(x)均存在，证明：⁡f' (x)=⁡f'' (x)=f'''(x)=0

设函数f(x)在区间[0,+∞)上可导，则【】