大学数学-考研试题(理工数学Ⅱ 2025年多元函数的极值)

问答题（2025年理工数学Ⅱ）

设函数f(x,y)可微，且满足df(x,y)=-2xe^-y dx+e^-y (x²-y-1)dy,f(0,0)=2，求f(x,y)，并求f(x,y)的极值.

答案解析

解答过程见word版

讨论

全微分

已知((x+ay)dx+ydy)/(x+y)2 为某函数的全微分，则a等于【】

设P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)是R³上的二阶连续可微函数，满足∂R/∂y-∂Q/∂z=a,∂P/∂z-∂R/∂x=b,∂Q/∂x-∂P/∂y=c其中a,b,c为常数，证明：存在R³上的连续线性函数f,g,h使得(P-f)dx+(Q-g)dy+(R-h)dz是全微分.

设函数f(x,y)可微，且f(x+1,ex)=x(x+1)2 , f(x,x2)=2x2lnx，则df(1,1)=【】

已知f(x,y)在(x0,y0)的某邻域内，fx(x,y)连续，fy(x0,y0)存在，证明：f(x,y)在(x0,y0)可微.

函数f(x)=|x|1/(1-x)(x-2)的第一类间断点的个数是【】

设函数y=f(x)由参数方程确定，则⁡x[f(2+2/x)-f(2)]=【】

设函数f(x)=sint3dt,g(x)=f(t)dt，则【】

已知数列{an}(an≠0)，若{an}发散，则【】

已知函数f(x,y)=，则在点(0,0)处【】

设f(x,y)是连续函数，则dxf(x,y)dy=【】

多元函数微分法

设函数f(x,y)在点(0,0)处可微，f(0,0)=0,n= (∂f/∂x,∂f/∂y,-1)|(0,0)，非零向量r与n垂直，则【】

设函数f(x,y)=ext²dt，则∂²f/∂x∂y|(1,1)=______

求f(x,y)=x³+8y³-xy的极值.

设u=u(x,y,z),v=v(x,y,z),w=w(x,y,z)由x=u+v+w,y=uv+uw+vw,z=uvw确定，求∂u/∂x,∂u/∂y,∂u/∂z.

已知函数f(u,v)具有2阶连续偏导数，且函数g(x,y)=f(2x+y,3x-y)满足(∂² g)/(∂x² )+(∂² g)/∂x∂y-6 (∂² g)/(∂y² )=1.(1)求(∂² f)/∂u∂v;(2)若∂f(u,0)/∂u=ue^(-u),f(0,v)=1/50 v²-1，求f(u,v)的表达式.

设函数f(u,v)具有2阶连续偏导数，且df|(1,1)=3du+4dv，令y=f(cosx,1+x²)，则d²y/dx²|x=0=______.

函数f(x,y)=2x³-9x²-6y4+12x+24y的极值点是______.

设函数z=z(x,y)由方程z+ex-yln(1+z²)=0确定，求(∂²z/∂x²+∂²z/∂y²)|(0,0).

若f(x)=|x|α，求(∂² f)/(∂x1² )+(∂² f)/(∂x2² )+(∂² f)/(∂x3² )+⋯+(∂² f)/(∂xn² )=________.

多元函数的极值

求二元函数f(x,y)=x²(2+y²)+ylny的极值.

求函数f(x,y)=(y-x²)(y-x³)的极值.

求函数f(xy)=xecosy+x2/2的极值.

已知一个二元实变函数：z=f(x,y)=sin2x - sinx∙cosy+cos2y;[其中，(x,y)∈全平面].(1)求出函数z=f(x,y)在其定义域里的最小值：zmin=？并指出在其定义域何点处，函数z=f(x,y)获得最小值zmin？(2)求出函数z=f(x,y)在其定义域里的最大值：zmax=？并指出在其定义域何点处，函数z=f(x,y)取得最大值zmax？提示：首先，可作变量变换：X=sinx,Y=cosy；然后，考虑关于X和Y的二元实变函数z=F(X,Y).

求函数f(x,y)=1/2(xn+yn)（n是正整数）在条件x+y=a（x≥0,y≥0，常数a>0）下的极值.

当x≥0,y≥0时，x2+y2≤kex+y恒成立，则k的最小值是__________.

已知可微函数f(u,v)满足∂f(u,v)/∂u-∂f(u,v)/∂v=2(u-v) e-(u+v)且f(u,0)=u2e-u.(1)记g(x,y)=f(x,y-x)，求∂g(x,y)/∂x;(2)求f(u,v)的表达式和极值.

求f(x,y,z)=x2y2z2在单位球上的最大值.

求函数f(x,y) = 2ln⁡|x| + 的极值.

设某产品的产量Q由资本投入量x和劳动投入量y决定，生产函数为Q=12x1/2 y1/6，该产品的销售单价P与Q的关系为P=1160-1.5Q，若单位资本投入和单位劳动投入的价格分别为6和8，求利润最大时的产量.