高中数学-竞赛试题(巴尔干数学竞赛 2025年图)

问答题（2025年巴尔干数学竞赛）

一个国家共有n座城市，其中整数n≥100.某些城市之间有双向直飞航班.对于两座城市 A,B，我们定义:

(ⅰ)从A到B的路径为一列互不重复的城市序列A=C₀,C₁,⋯,C_k,C_k+1=B(k≥0)，其中对任意0≤i≤k，城市与之间有直飞航班；

(ⅱ)从A到B的长路径是指一条路径，使得不存在其他从A到B的路径包含更多城市；

(ⅲ)从A到B的短路径是指一条路径，使得不存在其他从A到B的路径包含更少城市.

已知对于任意两座城市A和B，均存在一条长路径和一条短路径，且这两条路径除A和B外没有其他共同城市.设F为该国家中通过直飞航班连接的城市对的总数，求F的所有可能值.

答案解析

解答过程见word版

讨论

高中数学

求所有的函数f:R→R，使得对任意实数x,y，都有f(x+yf(x))+y=xy+f(x+y).

如图，在锐角△ABC中，H是垂心，D是边BC上任意一点，点E,F分别在边AB,AC上，满足A,B,D,F和A,C,D,E共圆，线段BF与CE交于点P,L是AH上的一点，且LC与△PBC的外接圆相切，BH,CP交于点X，求证：D,X,L三点共线.

称整数n>1是好数，如果存在1,2,⋯,n的一个排列a1,a2,⋯,an，满足：⑴ 对1≤i≤n-1,ai与ai+1不同奇偶；⑵ 对1≤k≤n,a1+a2+⋯+ak是模n的二次剩余.求证：存在无穷多个好数，也存在无穷多个正整数不是好数.

已知a1,a2,⋯,an为实数，且∑i=1nai =n,∑i=1nai² =2n,∑i=1nai³ =3n.(1)求最大的常数C，使得对所有n≥3，均有max⁡{a1,a2,⋯,an }-min⁡{a1,a2,⋯,an }≥C；(2)证明存在常数C2>0使得max⁡{a1,a2,⋯,an }-min⁡{a1,a2,⋯,an }+C≥C2n-3，其中C为(1)中的常数.

设p为给定素数，f为{0,1,…,p-1}到自身的一个双射.若f满足：当p|a²-b²时，|f(a)-f(b)|≤2024.求证：有无穷多个p使得f存在，也有无穷多个p使得f不存在.

对于R²中任意两点(x1,y1 ),(x2,y2)，定义该两点之间的小数距离为：√(‖x1-x2 ‖²+‖y1-y2 ‖² )其中‖x‖表示实数x离最近整数的距离.求最大的实数r，使得平面上存在四个点，两两之间的小数距离均不小于r.

给定整数a1>a2>⋯>an>1，记M=lcm(a1,a2,⋯,an )，对任意非空有限正整数集X，定义f(X)=min1≤i<n⁡∑x∈X{x/ai } 若对X的任意真子集Y，有f(Y)<f(X)，则称X是极小的.设X是极小的，且f(X)≥2/an .求证：|X|≤f(X)∙M.

在△ABC中，I为内心，L,M,N分别为，AI,AC,CI的中点，D在线段AM上，满足BC=BD，△ABD的内切圆切边AD,BD于E,F,J为△AIC的外心，ω为△JMD的外接圆，MN再次交ω于P,JL再次交ω于Q，证明：PQ,LN,EF三线交于一点.

给定无理数α>1,L∈Z，满足L>α²/(α-1)，数列{xn}满足x1>L，且xn+1=(1)证明：{xn}最终周期；(2)证明：{xn}最终的最小正周期是一个与x1无关的奇数.

记Q是所有理数的集合.一个函数f:Q→Q称为神奇函数，如果对任意x,y∈Q均有下述两个等式：f(x+f(y))=f(x)+y,f(f(x)+y)=x+f(y)至少有一个成立.证明：存在整数c满足对任意一个神奇函数f，至多存在c个两两不同的有理数可以表示为f(r)+f(-r)的形式(r∈Q)，并求满足上述要求的最小整数c.

图

在n×n的方格表中，若两个方格有公共边，则称它们是相邻的.若l个互异方格A1,A2,⋯,A_l满足Ai和Ai+1相邻（1≤i≤l-1），则称它们为一条长度为l的“龙”.求最大正整数k，使得可以给每个方格填上0或者1，并且对任意一个方格A，和以A中数字为首项的0,1序列m1,m2,⋯,mk，都存在从A开始的长度为k的龙，方格中的数字依次是m1,m2,⋯,mk.

某城街路为棋盘式，走向南北者有 a 条，而走向东西者有 6 条，一行人欲由西北隅向最短之路走到东南隅，问计共有若干方法？

设n是一个正整数.日式三角是将1+2+…+n个圆排成正三角形的形状,使得对 i= 1,2，…,n,从上到下的第i行恰有个圆，且其中恰有一个被染为红色.在日式三角内，忍者路径是指一串由n个圆组成的序列，从最上面一行的圆开始，每次从当前圆连接到它下方相邻的两个圆之一，直至到达最下面一行的某个圆为止.下图为一个n=6的日式三角,其中画有一条包含两个红色圆的忍者路径.求最大的整数k(用n表示),使得在每个日式三角中都存在一条忍者路径,它包含至少k个红色圆.

Let n be a positive integer. A“Northern European Square Matrix (NESM) is an n×n square containing all the integers from 1 to n²,so that there is exactly one number in each grid.The two different grids are neighbours if they share a common edge.A grid is called a "valley”if the integer in it in smaller than the integers in all the neighbours of the grid. An "uphill path”is a sequence containing one or more grids satisfying:(i)the frist grid of the sequence is a valley,(ii) each subsequent grid in the sequence is the neighbour of its previous grid,(iii) the integers in the girds of the sequence is incremented.Figure out the minimum possible value of the number of uphill paths in a NESM which should be represented by a function of n.译文：令n为一个正整数，一个“北欧方阵”是一个包含1至n²所有整数的n×n的方格表，使得每个方格中恰有一个数字。两个相异方格如果有公共边，称它们是相邻的。如果一个方格内的数字比所有相邻方格内的数字都小，称其为“山谷”。一条“上坡路径”是一个包含一或多个方格的序列，满足：(1)序列的第一个方格是山谷；(2)序列中随后的每个方格都和前一个方格相邻；(3)序列中方格所写的数字递增。试求一个北欧方阵中山坡路径的最小可能值，以n的函数表示之。

如图,小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线表示它们有网线相连.连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点A向结点B传递信息,信息可以分开沿不同的路线同时传递,则单位时间内传递的最大信息量为【】

给定整数n > 1 ．在一座山上有n2个高度互不相同的缆车车站．有两家缆车公司 A 和B，各运营 k 辆缆车；每辆从一个车站运行到某个更高的车站（中间不停留其他车站） . A 公司的 k 辆缆车的k个起点互不相同， k 个终点也互不相同，并且起点较高的缆车，它的终点也较高． B 公司的缆车也满足相同的条件．我们称两个车站被某家公司连接，如果可以从其中较低的车站通过该公司的一辆或多辆缆车到达较高的车站（中间不允许在车站之间有其他移动）. 确定最小的正整数 k ，使得一定有两个车站被两家公司同时连接．(印度供题）

There are 4n pebbles of weights 1,2,3,…,4n. Each pebble is coloured in one of n colours and there are four pebbles of each colour. Show that we can arrange the pebbles into two piles so that the following two conditions are both satisfied:● The total weights of both piles are the same.● Each pile contains two pebbles of each colour.有 4n 枚石子，重量分别为 1 , 2 , 3 , … ， 4n ．每一枚小石子都染了n种颜色之一，使得每种颜色的小石子恰有四枚．证明：可以把这些小石子分成两堆，且满足以下两个条件：● 两堆小石子的总重量相同；● 每堆中每种颜色的小石子各有两枚．(匈牙利供题)

一个国家共有n座城市，其中整数n≥100.某些城市之间有双向直飞航班.对于两座城市 A,B，我们定义:(ⅰ)从A到B的路径为一列互不重复的城市序列A=C0,C1,⋯,Ck,Ck+1=B(k≥0)，其中对任意0≤i≤k，城市与之间有直飞航班；(ⅱ)从A到B的长路径是指一条路径，使得不存在其他从A到B的路径包含更多城市；(ⅲ)从A到B的短路径是指一条路径，使得不存在其他从A到B的路径包含更少城市.已知对于任意两座城市A和B，均存在一条长路径和一条短路径，且这两条路径除A和B外没有其他共同城市.设F为该国家中通过直飞航班连接的城市对的总数，求F的所有可能值.

一个国家共有n座城市，其中整数n≥100.某些城市之间有双向直飞航班.对于两座城市 A,B，我们定义:(ⅰ)从A到B的路径为一列互不重复的城市序列A=C0,C1,⋯,Ck,Ck+1=B(k≥0)，其中对任意0≤i≤k，城市与之间有直飞航班；(ⅱ)从A到B的长路径是指一条路径，使得不存在其他从A到B的路径包含更多城市；(ⅲ)从A到B的短路径是指一条路径，使得不存在其他从A到B的路径包含更少城市.已知对于任意两座城市A和B，均存在一条长路径和一条短路径，且这两条路径除A和B外没有其他共同城市.设F为该国家中通过直飞航班连接的城市对的总数，求F的所有可能值.

一个国家共有n座城市，其中整数n≥100.某些城市之间有双向直飞航班.对于两座城市 A,B，我们定义:(ⅰ)从A到B的路径为一列互不重复的城市序列A=C0,C1,⋯,Ck,Ck+1=B(k≥0)，其中对任意0≤i≤k，城市与之间有直飞航班；(ⅱ)从A到B的长路径是指一条路径，使得不存在其他从A到B的路径包含更多城市；(ⅲ)从A到B的短路径是指一条路径，使得不存在其他从A到B的路径包含更少城市.已知对于任意两座城市A和B，均存在一条长路径和一条短路径，且这两条路径除A和B外没有其他共同城市.设F为该国家中通过直飞航班连接的城市对的总数，求F的所有可能值.

平面几何

设P为平面凸多边形，若线段AB的两端点在P的边界上，并且过A,B与AB垂直的两条直线之间的区域(含边界)包含P，则称线段AB为“锦弦”. 求最大的正整数k，使得任意平面凸多边形P都有k条锦弦.

在锐角三角形△ABC中，AB>AC,O为外心. 设D为BC上一点，O1,O2分别为△ABD,△ACD的外心，△AO1O2的外接圆与⨀O交于不同于A的点L.证明：A,O,D三点共线当且仅当AL//BC.

求最大的正整数n，使得平面上存在n个点P1,P2,⋯,Pn(任意三点不共线)和不过其中任意点的n条直线l1,l2,⋯,ln(任意三线不共点)，满足对任意i≠j，直线Pi Pj,li,lj三线共点.

如图，在△ABC中，AB>AC,△ABC的内切圆I分别切边BC,CA,AB于点D,E,F.设M为DE的中点，N为DF的中点，直线EF与BC相交于点P，过点P作动直线l交内切圆I于不同的两点G,H,且I,M,G和I,N,H均不共线，△IMG的外接圆与△INH的外接圆交于不同于I的点Q,证明：点Q始终在一个定圆上.

在△ABC中AB<AC<BC.设△ABC的内心为I，内切圆为ω.点X(异于C)在直线BC上，满足过X且平行于AC的直线与圆ω相切.点Y(异于B)在直线BC上，满足过Y且平行于AB的直线与圆ω相切.设直线AI与△ABC的外接圆交于另一点P(异于A).设K与L分别为线段AC和AB的中点.证明：∠KIL+∠YPX=180°.

自 △ABC 的顶点 A 至对边作垂线，自垂足 D 作 AB、AC 过之垂线，其垂足为 E、F，证明 B,E,F,C 共圆.

设O为圆心，AB为弦，延长AB至C，令BC等于圆半径，再引CO交圆于D，求证：∠BOC为∠DOA的1/3.

梯形之四边长均为已知，求作此梯形.

于任意 △ABC 之各边上向外作等边三角形 BCD，CAE 及 ABF，试证此诸等边三角形的外接圆共点.若此点为 P，则 PA+PB + PC =AD =BE =CF.

如图，△ABC为给定的锐角三角形，其内切圆ω分别与边AB,AC切于点K,L.高AH分别与∠ABC,∠ACB的平分线交于点P,Q.设ω1,ω2分别为△KPB,△LQC的外接圆，AH的中点ω1,ω2外，求证：从AH的中点引向ω1,ω2的切线相等.