高中数学-竞赛试题(巴尔干数学竞赛 2025年数论)

证明题（2025年巴尔干数学竞赛）

称整数n>1是好数，如果存在1,2,⋯,n的一个排列a₁,a₂,⋯,a_n，满足：

⑴ 对1≤i≤n-1,a_i与a_i+1不同奇偶；

⑵ 对1≤k≤n,a₁+a₂+⋯+a_k是模n的二次剩余.

求证：存在无穷多个好数，也存在无穷多个正整数不是好数.

答案解析

解答过程见word版

讨论

高中数学

已知a1,a2,⋯,an为实数，且∑i=1nai =n,∑i=1nai² =2n,∑i=1nai³ =3n.(1)求最大的常数C，使得对所有n≥3，均有max⁡{a1,a2,⋯,an }-min⁡{a1,a2,⋯,an }≥C；(2)证明存在常数C2>0使得max⁡{a1,a2,⋯,an }-min⁡{a1,a2,⋯,an }+C≥C2n-3，其中C为(1)中的常数.

设p为给定素数，f为{0,1,…,p-1}到自身的一个双射.若f满足：当p|a²-b²时，|f(a)-f(b)|≤2024.求证：有无穷多个p使得f存在，也有无穷多个p使得f不存在.

对于R²中任意两点(x1,y1 ),(x2,y2)，定义该两点之间的小数距离为：√(‖x1-x2 ‖²+‖y1-y2 ‖² )其中‖x‖表示实数x离最近整数的距离.求最大的实数r，使得平面上存在四个点，两两之间的小数距离均不小于r.

给定整数a1>a2>⋯>an>1，记M=lcm(a1,a2,⋯,an )，对任意非空有限正整数集X，定义f(X)=min1≤i<n⁡∑x∈X{x/ai } 若对X的任意真子集Y，有f(Y)<f(X)，则称X是极小的.设X是极小的，且f(X)≥2/an .求证：|X|≤f(X)∙M.

在△ABC中，I为内心，L,M,N分别为，AI,AC,CI的中点，D在线段AM上，满足BC=BD，△ABD的内切圆切边AD,BD于E,F,J为△AIC的外心，ω为△JMD的外接圆，MN再次交ω于P,JL再次交ω于Q，证明：PQ,LN,EF三线交于一点.

给定无理数α>1,L∈Z，满足L>α²/(α-1)，数列{xn}满足x1>L，且xn+1=(1)证明：{xn}最终周期；(2)证明：{xn}最终的最小正周期是一个与x1无关的奇数.

记Q是所有理数的集合.一个函数f:Q→Q称为神奇函数，如果对任意x,y∈Q均有下述两个等式：f(x+f(y))=f(x)+y,f(f(x)+y)=x+f(y)至少有一个成立.证明：存在整数c满足对任意一个神奇函数f，至多存在c个两两不同的有理数可以表示为f(r)+f(-r)的形式(r∈Q)，并求满足上述要求的最小整数c.

憨豆特工在一个2024行2023列的方格表上做游戏.方格表中恰有2022个方格各藏有一个坏人.初始时,憨豆不知道坏人的位置,但是他知道除了第一行和最后一行之外,每行恰有一个坏人,且每列至多有一个坏人.憨豆想从第一行移动到最后一行,并进行若干轮尝试,在每一轮尝试中,憨豆可以在第一行中任意选取一个方格出发并不断移动,他每次可以移动到与当前所在方格有公共边的方格内.(他允许移动到之前已经到达过的方格.)若憨豆移动到一个有坏人的方格,则此轮尝试结束,并且他被传送回第一行开始新的一轮尝试,坏人在整个游戏过程中不移动,并且憨豆可以记住每个他经过的方格内是否有坏人.若憨豆到达最后一行的任意一个方格,则游戏结束.求最小的正整数n,使得不论坏人的位置如何分布,憨豆总有策略可以确保他能够经过不超过n轮尝试到达最后一行.

在△ABC中AB<AC<BC.设△ABC的内心为I，内切圆为ω.点X(异于C)在直线BC上，满足过X且平行于AC的直线与圆ω相切.点Y(异于B)在直线BC上，满足过Y且平行于AB的直线与圆ω相切.设直线AI与△ABC的外接圆交于另一点P(异于A).设K与L分别为线段AC和AB的中点.证明：∠KIL+∠YPX=180°.

设a1,a2,a3,⋯是一个无穷项的正整数序列，且N是一下正整数.已知对任意整数n>N,an等于an-1在a1,a2,⋯,an-1中出现的次数.证明：序列a1,a3,a5,⋯与序列a2,a4,a6,⋯两者至少有一个是最终周期的.(一个无穷项的序列b1,b2,b3,⋯称为最终周期的，如果存在正整数p和M使得bm+p=bm对所有整数m≥M均成立)

数论

证明：任意正整数的平方均可表示为((a-b)²+(b-c)²+(c-a)²)/(2(ab+bc+ca))的形式，其中a,b,c为正整数.

设a正整数，fa (x)=x4+ax²+1.定义集合Pa={p|p为素数，且存在正整数k使得fa (2k)是p的倍数}(1)证明：对任意正整数a,Pa为无限集；(2)若Pa的任意两个元素之差是8的倍数，求正整数a的最小值.

求所有实数α满足：对任意正整数n，整数⌊α⌋+⌊2α⌋+⋯+⌊nα⌋均为n的倍数.(注：⌊z⌋表示小于等于z的最大整数.例如，⌊-π⌋=-4,⌊2⌋=⌊2.9⌋=2)

求所有正整数对(a,b)满足：存在正整数g和N使得gcd⁡(an+b,bn+a)=g对所有整数n≥N均成立.(注：gcd⁡(x,y)表示x与y的最大公约数).

Determine all composite integers n>1 that satisfy the following property：if d1,d2,⋯,dk are all the positive divisors of n with 1=d1<d2<⋯<dk=n, then di divides di+1+di+2 for every 1≤i≤k-2.译文：设1=d1<d2<⋯<dk=n是合数n的全部正因数，若对任意1≤i≤k-2，有di |di+1+di+2，求n.

有一个二位数,其数字之和为 14，若将其二数字之位置交换，则所得之数较之原数大 18，求原数.

今有三数，其和为 37，积为 1440，且其中二数的积较第三数的三倍大 12.试求此三数.

使得n²+2023n为平方数的正整数n的最小值是__________.

已知a,b为正整数，a<b，且a,b互质.若关于x,y的不等式ax+by≤ab有且仅有2023组正整数解，则(a,b)=____________________(求出满足题意的所有可能数组).

求所有不超过100的正整数k，使得存在整数n，满足：k|(3n6+26n4+33n2+1)

数系与复数

已知z=-1-i，则|z|=【】

设z=5+i，则i(z ̅+z)=【】

设z=√2 i，则z∙z ̅=【】

已知z/i=i-1，则z=【】

已知虚数z，其实部为1，且z+2/z=m(m∈R)，则实数m为______.

已知i是虚数单位，复数(√5+i)⋅(√5-2i)=________.

若复数z满足i⋅z=3-4i，则|z|=【】

已知z=1+i（其中i为虚单位），则2z ̅=________.

已知i是虚数单位，化简(11-3i)/(1+2i)的结果为________.

设z是虚部不为零的复数.若(2+3z+4z2)/(2-3z+4z2)是实数，则|z|2的值为__________.