已知A是m×n矩阵，β是m维非零向量.若A有k阶非零子式，则【 】
A、当k=m时AX=β有解
B、当k=m时AX=β无解
C、当k<m时AX=β有解
D、当k<m时AX=β无解
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单项选择（2025年经济数学Ⅲ）
答案解析
A
【解析】
若A有k阶非零子式，则r(A)≥k.
当k=m时，r(A)=r(β)，从而AX=β，故A正确，B错；
当k<m时，有可能r(A)<r(Aβ)，故AX=β不一定有解，C,D不确定.
讨论
证明：秩等于r的矩阵可以表示为r个秩等于1的矩阵之和，但不能表示为少于r个秩等于1的矩阵之和.
设A是n阶满秩矩阵，证明：存在正交矩阵P1,P2使得P1-1AP2=其中λi>0(i=1,2,⋯,n).
设A为4阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，若A(A-A*)=0，且A≠A*，则r(A)取值为【 】
设A是秩为2的3阶矩阵，α是满足Aα=0的非零向量，若对满足βTα=0的3维向量β均有Aβ=β，则【 】
设A为n阶复方阵，0为A的最小多项式m(λ)的r重根，r≥2为正整数.证明：(1)对任意的正整数k≥r,r(Ak )=r(Ar).(2) r(Ar )<r(Ar-1).
设A为m×n且秩为s的矩阵，X为p×m的列满秩矩阵，即r(X)=m，而Y为n×q的行满秩矩阵，即r(Y)=n。证明：r(A)=r(XA)=r(AY)=r(XAY)其中符号r(T)表示矩阵T的秩。
设矩阵A=,B=，向量α=,β=.(1)证明：方程组Ax=α的解均为方程组Bx=β的解；(2)若方程组Ax=α与方程组Bx=β不同解，求a的值.
设A是5×4矩阵，且r(A)=3,β为5维非零向量，已知γ1,γ2,γ3为方程AX=β的3个不同的解，且γ1+γ2=(2,2,0,2)T,γ1+γ3=(0,0,2,0)T.求AX=β的通解.
设矩阵A=(α1,α2,α3,α4 )，若α1,α2,α3线性无关，且α1+α2=α3+α4，则方程组Ax=α1+4α4的通解为x=________.
已知方程组I:，方程组II:问a,b为何值时方程组I和方程组II有相同的解？并求此相同解。
设X1=(0 2 0)T,X2=(-3 3 2)T是方程组的两个解，求此方程组的一般解。
设x1-x2=a1,x2-x3=a2,x3-x4=a3,x4-x5=a4,x5-x1=a5。证明此方程组有解的充分必要条件为ai =0。
设矩阵A=,β=，已知线性方程组AX=β有解但不唯一.(1)求a的值；(2)求一个正交矩阵Q，使得QTAQ为对角矩阵.
已知数列{xn },{yn },{zn}满足x0=-1,y0=0,z0=2，且，记αn=，写出满足αn=Aαn-1的矩阵A，并求An及xn,yn,zn.
求线性方程组的基础解系，假设该方程组的一个解和另外一个解为k1+k2 的方程组有公共解，求出所有公共解.
设矩阵A=，若方程组A²X=0与AX=0不同解，则a-b=______.
设f(x)=，则f(x)=0的根为____________.
设A为n阶方阵，A*为A的伴随矩阵且A11≠0,b≠0，其中A11为A的a11对应的代数余子式.证明：AX=b有无穷多个解⟺b是A* X=0的解.
要使ξ1=,ξ2=都是方程组Ax=0的解，只要系数矩阵A为【 】
设A=(α1,α2,α3,α4)为4阶正交矩阵，若矩阵A = ,β = ,k表示任意常数，则线性方程组Ax=β的通解为x=【 】